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Conceitos de Física moderna - 1
A Matemática

Valdir Aguilera

Introdução

A Física moderna nasceu no primeiro quarto do século passado e provocou uma reavaliação de conceitos até então centrais na Ciência e na Filosofia. Entre esses conceitos citamos o caráter absoluto que era dado ao tempo e ao espaço, um existindo de forma independente do outro. Essa reavaliação foi revolucionária, conduzindo a mudanças radicais na postura científica e filosófica do ser humano.

Talvez a mais surpreendente dentre as inovações introduzidas pela Física moderna foi mostrar que o observador interfere no resultado de uma experiência, não devido aos métodos e instrumentos que utiliza, mas por meio de sua consciência, que, como sabemos, é uma propriedade psíquica. Essa constatação é bem mais recente e o processo de interferência ainda não é muito bem compreendido.

O conceito de "substância" também foi abalado. Por exemplo, um elétron se manifesta ora como se fosse uma partícula, ora como se fosse uma onda. Na descrição da Física moderna, ele não é nem uma coisa nem outra.

Este artigo foi idealizado como uma tentativa de mostrar que os conceitos da Física moderna são bastante abstratos. Descrever esses conceitos utilizando-se do linguajar comum é correr um alto risco de interpretação. As tentativas neste sentido quase sempre têm conduzido a interpretações equivocadas desses conceitos. Não é raro encontrar na literatura não especializada esse desentendimento, que conduz a uma compreensão incorreta, ou pelo menos incompleta, da Física moderna.

No entanto, os físicos se entendem perfeitamente bem, pelo menos quando falam de Física. Como podem se entender se a comunicação entre eles é feita por meio do linguajar comum?

Temos, aqui, duas situações. Quando se pretende descrever uma experiência e o resultado que produziu, o linguajar comum é suficiente, pois os instrumentos e aparelhos utilizados na experiência são relativamente pequenos e, por isso mesmo, os efeitos da curvatura do espaço-tempo não se fazem sentir, não são detectáveis. Daí não ser necessário considerá-los na descrição dos resultados e do processo em que foram obtidos. Se, contudo, a conversa girar em torno de explicações mais profundas e básicas, as palavras falham. É necessário expressar-se num idioma que os físicos falam muito bem: a Matemática. E a Matemática não utiliza palavras, utiliza símbolos, símbolos que falam. A Matemática é o idioma em que a natureza se expressa. Falemos um pouco sobre essa última afirmação.

A Matemática e o seu papel

Não é exagero afirmar que os conceitos da Física moderna somente podem ser corretamente compreendidos por meio de uma Matemática altamente abstrata. Os conceitos não poderiam, portanto, deixar de ser igualmente abstratos. As palavras, em qualquer idioma, apenas nos permitem criar modelos que procuram representar o Universo e as leis que regem os fenômenos, sejam macroscópicos, sejam microscópicos.

Por exemplo: é bastante comum descrever um átomo como sendo formado por um núcleo cercado de elétrons que circulam ao seu redor, em órbitas, como nossos planetas ao redor do Sol. Esta imagem não tem o apoio irrestrito da Física moderna. Ela é apenas uma materialização da idéia de um átomo, como um ser barbudo é uma materialização do deus de algumas religiões. Não existe um deus barbudo; não existe um átomo em forma de sistema planetário. Ambos são criações da imaginação humana.

O átomo concebido como um sistema planetário minúsculo é apenas um modelo que teve, e ainda tem, muito sucesso porque nos permite "entender" alguns fenômenos em termos do linguajar comum. Esse "entender" está entre aspas porque é um sentimento falso. Ficamos felizes e nos sentimos seguros e confortáveis porque acreditamos que sabemos qual é a forma e estrutura de um átomo. O mesmo "entendimento" ocorre quando se pensa nas partículas que compõem o átomo. Por exemplo, você não imagina um elétron como se fosse uma pequena esfera, uma bolinha? Algumas pessoas até visualizam a bolinha na cor alaranjada!

Permeando o Universo e por trás dos fenômenos físicos (e, quem sabe, também dos psíquicos) há uma Matemática Universal. E a Física moderna nos mostra exatamente isso. Desenvolver uma teoria capaz de descrever os fenômenos físicos pressupõe conhecimentos matemáticos adequados. Parece inacreditável, mas o Racionalismo Cristão há muito já nos mostra que este é o caminho para entender as Leis Universais.

Quem ficou curioso com esta última afirmação é convidado a examinar a gravura 20 do livro A vida fora da matéria, 21a edição. Ela mostra uma formação simétrica, resultado da combinação de Forças preparando-se para produzir um determinado efeito. Aqui a palavra-chave é "simétrica". As simetrias são conceitos importantes na Física moderna. Elas são descritas por uma estrutura algébrica chamada grupos (de transformação), e são responsáveis por vários fenômenos. Voltaremos ao assunto em outro artigo.

A História das Ciências registra freqüentes influências recíprocas no desenvolvimento da Matemática e da Física, através dos tempos. A Física moderna tem um poder provocativo tão grande na Matemática que o famoso e respeitável matemático David Hilbert (1862-1943) chegou a dizer que "a Física é muito importante para se deixar nas mãos dos físicos".

Para encerrar esta seção, vejamos o que afirmaram algumas personalidades respeitáveis como pensadores e como cientistas:

"Deus geometriza", Platão (c. 427-347 a.C.);

"Qualquer nova série de descobrimentos é Matemática na forma, pois não temos outro guia", Charles Darwin (1809-1882);

"Um livro sobre a Física moderna, se não é puramente descritivo de resultados experimentais, deve ser essencialmente matemático", Paul A. M. Dirac (1902-1984) (Prêmio Nobel, 1933).

Ferramental

E quem não tem conhecimentos de matemática? Fica irremediavelmente marginalizado e incapaz de compreender a Física moderna? Em certo sentido, a resposta é 'sim'. Para praticar essa ciência é necessário uma 'iniciação' aos seus 'mistérios' e aprender a identificar nos símbolos matemáticos o significado daquilo que não se pode descrever com exatidão em nenhum idioma. É necessário desenvolver um raciocínio que requer um alto nível de abstração. Neste ponto, vale lembrar uma afirmação de Karl Pearson (1857-1936): "O matemático, que se encontra sob um dilúvio de símbolos, e trabalha aparentemente com verdades puramente formais, ainda assim pode obter resultados de infinita importância para nossa descrição do universo físico".

Não é de se estranhar que a Física requeira uma 'iniciação'. Todas as ciências e artes exigem 'iniciações' apropriadas. O desenvolvimento de qualquer atividade intelectual requer um ferramental próprio. Durante o período de 'iniciação', artistas e cientistas aprendem a identificar as ferramentas disponíveis e como usá-las. Com a Física não poderia ser diferente.

Quando mencionamos ferramentas, não estamos nos limitando a pincéis, cinzéis e chaves de fenda; a identificação de simetrias e a percepção dos caminhos para realizar e construir algo são, também, parte do ferramental, tanto do cientista como do artista.

O leitor pode, com muita razão, perguntar: "Eu não falo matemática, nem quero ser físico. Como faço para entender, mesmo aproximadamente, os conceitos da Física moderna?" Não há motivo para se sentir desencorajado. Felizmente, há uma resposta aceitável para essa pergunta, a saber, ler livros e artigos de divulgação de autores qualificados e tomar cuidado, bastante cuidado, com a enxurrada de artigos publicados, na internet principalmente. Tanto na internet como na mídia em geral, já encontramos artigos que nada mais são do que um amontoado de tolices que confundem mais do que aclaram.

Apenas como sugestão, mencionamos uma boa e confiável fonte de leitura: a revista Scientific American, que já tem edições em português, encontráveis nas bancas de jornal. Essa revista publica artigos confiáveis, pois seus autores são credenciados e especializados no assunto.

Importância dos modelos

O que é um modelo em ciências? É um esquema que nos permite descrever, ou mesmo prever, um fenômeno com base em leis e resultados experimentais.

Os modelos, tanto matemáticos como físicos, são importantes porque ajudam nossa imaginação e permitem a evolução das idéias e conceitos à medida que eles, os modelos, vão se aperfeiçoando. Como exemplo da evolução e aperfeiçoamento de um modelo, em um próximo artigo faremos um breve histórico dos diversos modelos criados para tentar descrever o átomo. Vamos acompanhar a saga do átomo, desde o começo do seu império, cerca de 2.500 anos atrás, até a sua destronização pelo elétron em 1911.

A própria Mecânica Quântica (também conhecida como Teoria Quântica), menina-dos-olhos da Física moderna, é um modelo; um modelo matemático. A Mecânica Quântica é uma teoria axiomática. Isto quer dizer que ela se baseia em afirmações (seus axiomas ou postulados) aceitas a priori, sem discussão. Em uma de suas formulações, esses axiomas são enunciados invocando uma estrutura matemática conhecida como espaço vetorial. Um elemento desse espaço se diz um vetor (não confundir com os vetores tridimensionais da Mecânica Clássica). Para que servem os vetores, na Física moderna?

De acordo com a Física moderna, todas as propriedades físicas de um sistema (pode ser apenas uma partícula, como o elétron, ou algo mais complexo, como o átomo) estão contidas na caracterização do vetor associado ao sistema. As propriedades físicas do sistema que estamos interessados em descrever são o que determina a dimensão do espaço vetorial. Como um sistema físico, em geral, tem muitas propriedades, a Física moderna trabalha com espaços vetoriais de diversas dimensões e natureza. Por exemplo, se estamos interessados no spin do elétron, o espaço vetorial associado tem três dimensões, as nossas familiares dimensões espaciais; já, se o interesse reside na carga elétrica do próton, por exemplo, estaremos interessados no spin isotópico, que também está associado a um espaço vetorial de dimensão três, mas não mais as três dimensões espaciais!

Como todas as teorias, a Mecânica Quântica também está sujeita a ser substituída por outra mais elaborada. Porém, ainda é a melhor teoria que temos, apesar de não ser igualmente compreendida e interpretada por todos os físicos.

Mas, voltemos à Matemática.

Matemática, descobrimento ou invenção?

É admirável, para não dizer assombroso, como a Matemática é capaz de descrever com muita precisão os fenômenos físicos, tanto em nível microscópico quanto macroscópico. Os cientistas aprenderam a ter uma fé quase inabalável naquilo que a Matemática prevê. Einstein (1879-1955) nos dá um exemplo dessa confiança. Como sabemos, esse gênio desenvolveu suas teorias – que tardaram anos para serem compreendidas até pelos cientistas – apenas com lápis e papel. E estava isolado do mundo científico, trabalhando num obscuro escritório burocrático de patentes, entregue somente à sua imaginação e intuição, e aos símbolos matemáticos.

Einstein se admirava, publicamente, do fato de a Matemática ser capaz de descrever tão detalhadamente o universo. Segundo ele, o que é mais incompreensível na natureza é o fato de ela poder ser compreendida através da Matemática. Sua teoria da gravitação – também conhecida como Teoria Geral da Relatividade – foi desenvolvida com base em cálculos teóricos usando-se tensores, objetos matemáticos que ofereceram a Einstein os recursos necessários para elaborar sua teoria. A confiança de Einstein na Matemática era tanta, que quando uma previsão puramente teórica da sua famosa teoria foi confirmada por uma medição experimental e alguém lhe perguntou o que teria acontecido se o resultado fosse adverso, ele respondeu: "Teria sido ruim para o nosso bom Deus, pois a minha teoria está correta".

Afinal de contas, o que é essa coisa maravilhosa chamada Matemática? É um descobrimento ou uma invenção do intelecto? Se ela é um descobrimento, significa que sempre existiu e esperava ser descoberta. Se não, quem a inventou? Vamos elaborar um pouco mais esse assunto.

Cabral descobriu o Brasil. Nossa terra já estava aqui quando ele chegou. Não foi uma invenção do famoso lusitano, foi um descobrimento. Por outro lado, Santos Dumont inventou o avião. Esse aparelho não existia antes, foi uma criação da mente. Na História, abundam os exemplos de descobrimentos e invenções. Planetas, satélites, espécimes dos três reinos da natureza são exemplos de descobrimentos. As invenções também se multiplicam: geladeira, telefone, computador, etc.

Descobre-se, portanto, o que já existe independentemente de nós mesmos. Já as invenções são criações de nossa mente.

Talvez o leitor (se houver algum que chegou até este ponto) queira interromper sua leitura neste ponto e tentar responder à seguinte pergunta: Se houvesse duas caixas, uma para as invenções e outra para os descobrimentos, em qual delas você acomodaria a Matemática?

Ninguém inventa nada

Há correntes de pensamentos que asseveram que ninguém inventa nada. O Racionalismo Cristão afirma o mesmo. Tudo o que existe, existiu potencialmente em forma latente, arquetipal no sentido introduzido por Platão. A mente, por meios não muito claros para a ciência oficial – os racionalistas cristãos sabem há muito que é por meio da mediunidade intuitiva, ou intuição –, capta imagens ainda amorfas e as materializa, dando-lhes contornos bem definidos. Esse processo é, de certa forma, imperativo no sentido de que se alguém não o faz, surgirá um outro alguém que certamente o fará. Para os defensores dessas correntes, a Matemática é um descobrimento, é algo que sempre "pairou no ar" à espera de alguém capaz de captá-la. Como aconteceu com outros descobrimentos, com o passar do tempo ela se desenvolveu e sofreu aperfeiçoamentos oriundos do trabalho perseverante e contínuo da mente, sempre sob a ação fundamental da intuição. Aliás, a intuição era muito valorizada por Einstein e está sendo também pela Psicologia moderna, que – devido à sua ignorância do binômio Força-Matéria – a considera uma forma de "conhecimento emocional".

A convicção de que a Matemática tem existência própria, independente da existência ou não do ser humano, reflete-se no fato de a humanidade ter investido muito dinheiro para enviar ao espaço o famoso e superbásico teorema de Pitágoras, com a esperança de que outras "civilizações" o captem e se apercebam de que há outras inteligências no universo.

De qualquer forma, a Matemática tem-se mostrado assombrosamente adequada para descrever os fenômenos físicos e as leis que os regem. Não somente os fenômenos físicos, mas, também, os de ordem biológica. Ela também dá indicações de que há fenômenos físicos que envolvem a consciência humana. Mas tratar desse assunto agora é afastar-nos do nosso tema central.

As simetrias

Esse casamento bem sucedido da Matemática com a descrição dos fenômenos físicos seria uma resultante de simetrias existentes no universo. Essa linha de pensamento enseja perguntas bastante intrigantes. Qual seria a origem e natureza dessas simetrias? Estariam as simetrias e a Matemática interligadas a tal ponto de não se saber se uma é conseqüência da outra, como na história do ovo e da galinha? Estaria nossa mente relacionada ou envolvida nessas simetrias? Talvez não estejamos muito distante das respostas.

Esse tema é tão importante na Física moderna – e na compreensão das bases científicas do Racionalismo Cristão – , que procuraremos desenvolvê-lo em um próximo trabalho.

Conclusão

Se quisermos falar apropriadamente e de forma correta sobre os conceitos da Física moderna, devemos utilizar recursos matemáticos. O linguajar comum é adequado apenas para se criarem modelos e descreverem resultados experimentais, pois estes são realizados em condições onde a estrutura íntima do universo não se faz sentir, nem pode ser medida ou percebida.

A Mecânica Quântica, uma das teorias básicas da Física moderna, é apenas um modelo matemático. Como toda teoria, é uma escada que nos permite subir e alcançar o alto. Como em toda escada, devemos saber como descer, humildemente, quando percebemos que está nos levando a "alturas" erradas.

A Mecânica Quântica pode vir a ser substituída por outra teoria mais elaborada. Mas a Matemática certamente continuará sendo fundamental, pois ela é o reflexo do próprio Universo.

[Próximo artigo: provavelmente, "A saga do átomo".]

Junho de 2006

 

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